知识点总结与练习题
核心概念 (Core Concept)：通过将陈述分解为有限个较小的案例，并分别证明每个案例来证明数学陈述为真的方法。
应用场景 (Application)：当需要证明的陈述涉及有限个具体案例时使用。
定义 (Definition)：通过提供一个不满足陈述的例子来证明数学陈述为假的方法。
重要原则 (Important Principle)：一个例子不能证明陈述为真，只能证明一个案例。
核心原则 (Core Principles)：
题目：证明100到200之间两个连续平方数的和是奇数。
解题步骤说明：
题目：证明"两个连续质数的和总是偶数"这个陈述不成立。
解题步骤说明：
使用穷举法证明：当 \(n\) 是整数且 \(1 \leq n \leq 6\) 时，\(m = n + 2\) 不能被10整除。
提示：你可以尝试 \(1 \leq n \leq 6\) 中的每个整数。
答题区域：
使用穷举法证明：2到26之间的每个奇数要么是质数，要么是两个质数的乘积。
答题区域：
使用穷举法证明：从 \(1^2\) 到 \(8^2\) 的两个连续平方数的和是奇数。
答题区域：
使用穷举法证明：所有立方数要么是9的倍数，要么比9的倍数多1或少1。
（4分）
答题区域：
找到反例来推翻以下陈述：
a) 如果 \(n\) 是正整数，那么 \(n^4 - n\) 能被4整除。
b) 整数总是有偶数个因数。
c) \(2n^2 - 6n + 1\) 对所有 \(n\) 的值都是正数。
d) \(2n^2 - 2n - 4\) 对所有整数值的 \(n\) 都是3的倍数。
答题区域：
一个学生试图证明 \(x^3 + y^3 < (x + y)^3\)。学生写道：
\((x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)
这小于 \(x^3 + y^3\)，因为 \(3x^2y + 3xy^2 > 0\)
a) 识别证明中的错误。（1分）
b) 提供反例来证明陈述不成立。（2分）
答题区域：
证明对于所有实数 \(x\)：
\[(x + 6)^2 \geq 2x + 11\]
（3分）
答题区域：
给定 \(a\) 是正实数，证明：
\[a + \frac{1}{a} \geq 2\]
注意：记住要说明你如何使用 \(a\) 是正数这个条件。（2分）
答题区域：
当 \(n = 1\) 时，\(m = 3\)，3不能被10整除
当 \(n = 2\) 时，\(m = 4\)，4不能被10整除
当 \(n = 3\) 时，\(m = 5\)，5不能被10整除
当 \(n = 4\) 时，\(m = 6\)，6不能被10整除
当 \(n = 5\) 时，\(m = 7\)，7不能被10整除
当 \(n = 6\) 时，\(m = 8\)，8不能被10整除
2到26之间的奇数：3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25
质数：3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
合数：9 = 3×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7, 25 = 5×5
连续平方数对：(1,4), (4,9), (9,16), (16,25), (25,36), (36,49), (49,64)
对应的和：5, 13, 25, 41, 61, 85, 113
验证：5, 13, 25, 41, 61, 85, 113 都是奇数
考虑立方数 \(n^3\)，其中 \(n\) 是整数
情况1：\(n = 3k\)，则 \(n^3 = 27k^3\) 是9的倍数
情况2：\(n = 3k+1\)，则 \(n^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3 + 3k^2 + k) + 1\)
情况3：\(n = 3k-1\)，则 \(n^3 = 27k^3 - 27k^2 + 9k - 1 = 9(3k^3 - 3k^2 + k) - 1\)
a) 反例：\(n = 2\)，\(2^4 - 2 = 16 - 2 = 14\)，14不能被4整除
b) 反例：\(n = 4\)，4的因数是1, 2, 4，共3个（奇数个）
c) 反例：\(n = 0\)，\(2(0)^2 - 6(0) + 1 = 1 > 0\)，但 \(n = 1\) 时，\(2(1)^2 - 6(1) + 1 = -3 < 0\)
d) 反例：\(n = 0\)，\(2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4\)，-4不是3的倍数
a) 错误：学生假设 \(3x^2y + 3xy^2 > 0\)，但这只在 \(x\) 和 \(y\) 同号时成立
b) 反例：\(x = -1\)，\(y = 2\)
\(x^3 + y^3 = (-1)^3 + 2^3 = -1 + 8 = 7\)
\((x + y)^3 = (-1 + 2)^3 = 1^3 = 1\)
\(7 > 1\)，所以 \(x^3 + y^3 > (x + y)^3\)
\((x + 6)^2 \geq 2x + 11\)
\(x^2 + 12x + 36 \geq 2x + 11\)
\(x^2 + 10x + 25 \geq 0\)
\((x + 5)^2 \geq 0\)
由于任何实数的平方都非负，所以 \((x + 5)^2 \geq 0\) 对所有实数 \(x\) 都成立
考虑 \((a - 1)^2 \geq 0\)
\(a^2 - 2a + 1 \geq 0\)
\(a^2 + 1 \geq 2a\)
由于 \(a > 0\)，两边同时除以 \(a\)：
\(a + \frac{1}{a} \geq 2\)